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2贝叶斯定理
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，命题的证据依赖于与那些命题有关的证据(因而以这些证据为条件)。例如，在赛马中赌家赋予每匹马的概率取决于他所知道的每匹马过去的表现。而且，赌家将根据新的证据(例如当他发现在到达跑道终点时其中一匹马大汗淋漓、虚弱不堪时)来改变这些概率。贝叶斯定理是规定如何根据新的证据改变概率的定理。
在科学的情境下问题是如何根据证据将概率赋予理论或假说。让P(h/e)指根据证据e假说h的概率, P(e/h) 指根据假说是正确的假定赋予证据e的概率，P(h) 是不知道e时赋予h的概率，而P(e)是在关于h的真值没有任何假定时赋予e的概率。于是贝叶斯定理可写为：
P(h/e) = P(h).P(e/h)
P(e)
P(h) 是指先验概率，因为它是在考虑证据e以前赋予假说的概率，而P(h/e)是后验概率，在考虑证据e以后赋予假说的概率。因此这个公式告诉我们如何根据特定证据修改一个假说的概率。
这个公式表明先验概率P(h)应该根据证据e由定标因子P(e/h)/P(e)来改变。很容易明白这与普通的直觉如何一致。P(e/h)因子是设定h，e 有多大可能。如果e 从h 必然得出，则P(e/h)为最大值1，如果从h 必然得出e的否定，则其为最小值0。(概率的值总是处于代表确定性的1与代表不可能性的0之间)。 证据在多大程度上支持一个假说，与假说预见这个证据的程度成正比，这似乎是很合理的。定标因子的除数项P(e)是当假说h未被承认为真时，证据被认为有多大可能的测度。因此，如果不管我们是否接受某种假说，某个证据极为可能，当这个证据得到确认时这个假说就没有得到重要的支持。反之，除非假说得到接受，否则这个证据非常不可能，那么这个假说就会得到高度确认。例如，如果某个新的引力理论预见重物降落在地上，那么观察石头降落不会使这个理论得到重要的确认，因为普遍期望石头会降落。另一方面，如果那个新理论预见引力随温度而略有变异，那么发现有这种效应就会使这个理论得到高度确认，因为没有这个新理论这个效应是很不可能的。
贝叶斯主义科学理论的一个重要方面是，先验和后验概率的计算总以理所当然的假定，即接受波普尔称之为背景知识为背景。例如，当在前面的段落里提出，当e 从h必然得出， P(e/h) 的值为1，而h 被认为与可获得的背景知识结合在一起是理所当然的。我们在前面几节里已经看到在理论产生可检验的预见以前，需要添加合适的辅助假定。贝叶斯主义者考虑了这些情况。全部的讨论都假定，概率的计算以被接受的知识为背景。
贝叶斯定理在什么意义上确实是一个定理，澄清这一点是很重要的。虽然我们不在这里考虑细节，但我们要指出，有一些最低限度的关于概率性质的假定，它们加在一起构成所谓的"概率运算"。贝叶斯主义者和非贝叶斯主义者都同样接受这些假定。否认这些假定就会有一系列不合意的后果。例如，可以表明违反概率运算的赌博系统在下列意义上是"非理性的"，它使赌家有可能在不管赌博、赛马等各种可能的结局如何，赌注下在哪一边都能赢。(允许这种可能性的赌博系统称为荷兰账本。这些系统违反了概率运算。) 贝叶斯定理可从构成概率运算的前提中推导出来。在这个意义上，定理本身是无可争议的。
迄今为止，我们已经介绍了贝叶斯定理，并试图指明，它规定一个假说的概率如何根据证据而改变，这把握了有关证据影响理论的一目了然的若干直觉。现在我们必须花更大的精力进而讨论有关概率的解释问题。
3主观贝叶斯主义
在贝叶斯主义者本身中间，他们对有关概率性质的基本问题并不一致。在分歧的一边，我们有"客观"贝耶斯主义。按照他们的意见，概率代表理性行动者根据客观境况应该赞同的概率。让我试图用赛马的例子来说明他们立场的要旨。假设我们面前有一张参加赛马骑手的名单，而没有提供给我们任何有关马的信息。于是，人们也许会争辩说，根据"一视同仁原则"赋予每一匹马获胜可能性以概率的唯一理性的方法是将概率在骑手之间平均分配。一旦我们以这些"客观的"先验概率作为开端，那么贝耶斯定理规定应该如何根据证据来修改概率，因此产生的后验概率也就是一个理性行动者应该接受的那些概率。这种进路的一个主要而声名远扬的问题是，在科学领域内，如何将客观先验概率赋予假说。似乎我们必须将在某一领域所有可能的假说开列出来，运用一视同仁原则将同样的概率赋予每一个假说。但这种包括所有假说的单子从哪里来？有理由认为在任何领域可能提出的假说的数目是无限的，这会使每一个假说获得零概率，这样贝耶斯式的比赛就无法开始。所有假说具有零概率，波普尔赢得了胜利。如何达到有限数目的假说，以便能够客观分配非零先验概率？我自己的观点是，这个问题是不可克服的，而且我从目前的文献中也得到这样的印象：大多数贝耶斯主义者自己也正在改变这个观点。因此让我们转到"主观"贝耶斯主义。
对于主观贝耶斯主义者来说，贝耶斯定理处理的概率代表主观信念程度。他们论证说，可在这个基础上发展对概率理论前后一致的解释，而且正是这种解释可以完全适合于科学。可用我在本章开头一段引用的一些例子来部分把握其基本原理。主观贝耶斯主义者争辩说，不管赋予所有假说和理论零概率的论证有多强有力，事情根本不是如此：一般的人们，尤其是科学家，并不将零概率赋予得到充分确认的理论。我预订了我到山区旅行去观测哈雷彗星这一事实提示，他们至少在我这个例子上是对的。科学家在他们的工作中认为许多定律是理所当然的。天文学家不加疑问地使用光的折射定律，参与空间计划的人不加疑问地使用牛顿定律，这证明他们将接近于(如果不是等于)1的概率赋予这些定律。主观贝耶斯主义者只是将科学家事实上具有的对假说信念的程度作为他们进行贝耶斯运算的先验概率基础。这样，他们就避免了波普尔的责难：所有普遍性假说的概率必然等于零。
贝耶斯主义在赌博中起着重要作用。我们已经注意到，贝耶斯定理能够在概率运算内得到证明，而概率运算是避免荷兰账本的一个充分条件。贝耶斯对科学的进路利用了这一点，在科学与赌博系统之间进行了周密的类比。一个科学家对某一假说的信念程度类似于他或她认为某一匹马会赢得赛马的公平的胜算。然而这里需要澄清可能的含糊之处。如果我们坚持与赛马作类比，那么赌家认为公平的胜算可被认为指他们私人的主观信念程度，也可能指在他们下赌注行为中实际表达的信念。这二者不一定是一回事。赌家可能由于他们相信的胜算需要特别大的赌注而惊惶失措或不知所措而背离他们相信的胜算的指令。当应用贝叶斯运算于科学时，不是所有贝叶斯主义者在这些可供选择的办法中作出相同的抉择。例如，乔恩·道尔灵(Dorling, 1979)认为概率是反映在科学实践中的测度，而豪森和厄尔巴赫(Howson and Urbach, 1989)则认为概率是主观信念程度。道尔灵观点的困难是不知道在科学实践内与打赌行为相应的是什么。而像豪森和厄尔巴赫所做的那样，鉴定主观信念程度的概率至少具有弄清楚概率指的是什么的优点。
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