从处在直线 g（图31）之外的一点向下引垂线p，通过平面pg内的同一点画直线h，使它与垂线成锐角s。在作出g和h不相交、但在稍微减小一点点角s时它们会相交的假定时，空间的均匀性立即迫使我们得出结论：具有同一角s的第二条线k本身在垂线的另一侧举止相似。因此，通过同一点所画的所有不相交的线都位于h和k之间。后者形成相交的线和不相交的线之间的边界，罗巴切夫斯基称其为平行。
在《几何学的新原理》（ 1835）的引言中，罗巴切夫斯基证明他自己是一位彻底的自然探究者。没有一个人会想到把下述未加工的观点甚至归因于有感官的普通人：“平行角”比直角小得多，当稍加延长时能够清晰地看到，它们能够相交。在这里所考虑的关系只容许在歪曲了真实比例的绘图中表示，相反地我们必须想象，由于截量（cut）的维度，s偏离直角的变化如此之小，以致h和k表面看来难以区分地重合起来。现在把垂线p延长到超过它与h的交点的一点，并通过它的端点画新线l平行于h，从而也平行于g，由此可得，平行角s’必然小于s，倘若h和l不再满足欧几里得案例的条件的话。以相同的方式继续延长垂线和画平行，我们得到不断减小的平行角。现在，考虑更远离的、从而在收敛一侧更急剧收敛的平行，我们将在不与先前的假定抵触的情况下，被迫从逻辑的角度假定，在趋近或垂线的长度减小时，平行角将再次增大，因此，平行性的角是垂线p的反函数，罗巴切夫斯基用II（p）来标示它。平面上的平行群之排列在图32中用图解表示。它们都相互对称地趋近它们收敛的一侧。空间的均匀性要求能够使两个平行之间的每一个“条带”与每一个另外的条带重合，倘若把它在纵向上移动所需要的距离的话。
第二十二节
如果设想圆无限地增大，那么当不断增加的弧达到圆的半径的收敛与平行一致的地点时，这些半径将停止相交。于是，圆通过所谓的“界线”。类似地，如果球面无限地增大，它将通 罗巴切夫斯基命名的“界面”。边界线与边界面具有的关系，类似于大圆与球面具有的关系。球面几何学与平行公理无关。但是，由于能够证明，由界线在界面上形成的三角形与在无限半径球上的有限的三角形相比并没有显示出角之和的过量，因此欧几里得几何学的法则对于这些边界三角形也有效。为了找到边界线的点，我们在处于平面上的平行把（ bundle）a α ， b β ， c γ ， d δ ……中决定这些平行中的每一个的点 a，b，c，d，这些点相对于aa中的点a如此定位，以致于 ∠α ab＝ ∠β ba， ∠γ ca， ∠α ad＝ ∠δ da……（参见图33）。由于整个构图的同一性，可以把每一个平行看作是界线的“轴”，当界线绕这个轴转动时，它将产生界面。同样地，也可以把每一个平行看作是界面的轴。出于相同的理由，所有界线和所有界面都是全等的。每一个平面与界面之交是圆；只有当割平面包含轴时，它才是界线。在欧几里得几何学中，不存在界线，也不存在界面。在这里，它们的类似物是直线和平面。如果不存在界线，那么必然地，任何不在直线上的三点必定在圆上。因此，比较年轻的鲍耶能够用这最后的公设代替欧几里得公理。
第二十三节
设a α ， b β ， c γ 是平行系， ae，a 1 e 1 ，a 2 e 2 ……是界线系，这些系中的每一个都把另一个分为相等的部分（图33）。因此，在相同的平行之间的任何两个界弧的相互之比率，例如ae＝u和a 2 e 2 ＝u’，仅仅依赖于它们分开的距离aa 2 ＝x。我们可以一般地提出u/u’＝ex/k，在这里k如此选取，以使e将是自然对数系的底。以这种方式引入指数，并借助这些引入双曲函数。对于平行性的角来说，我们得到s＝cot1/2 ∏ （ p）＝e p/k 。若p＝0，则s＝ π ／ 2；若p＝ ∞ ，则 s＝0．
一个例子将阐明罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学和球面几何学的关系。对于具有边a，b，c和角A，B，C的直线罗巴切夫斯基三角形来说，当C是直角时，我们得到 sinh(a/k)＝sinh(c/k)A. 。在这里，sinh代表双曲正弦，sinhx＝1/2(e x －e -x )而sinx＝（1/2 i）（e ix －e －ix ），或者sinhx＝x／1！＋x 3 ／3！＋x 5 ／5！＋x 7 ／7！和sinx＝x／1！－x 3 /3＋x 5 /5！－x 7 /7！＋……。
考虑到在前述的公式中所包含的关系sin（xi）＝i（sinhx）或sinh（xi）＝isinx，人们将看到，上面罗巴切夫斯基三角形给出的公式通过对球面三角形成立的公式，即sin（a／k）＝sin（c／k）sinA，此时用ki代替前者中的是，并像他那样把k看作是球的半径，而在通常的公式中假定它的值是一个单位。用同一方法把球面公式重新变换为罗巴切夫斯基公式是明显的。如果k与a和c相比十分大，那么我们可以把我们自己局限于在二者案例中得到的关于sinh和sin的平面欧几里得几何学公式的级数的第一项a／k＝（c／k）sinA或a＝CsinA，我们可以认为这是罗巴切夫斯基几何学和球面几何学二者对于十分大的人的值或对于k＝ ∞ 的极限情况。同样可以允许说，这三种几何学在无穷小的领域相符。
第二十四节
正如我们看到的，仅仅在平行线收敛的假定上，就有可能构造自我一致的，无矛盾的几何学体系。确实，不存在我们可以达到的几何学事实的单一观察，表明支持这一假定，人们公认假设随我们的几何学本能有如此大的变化，以致容易说明诸如萨凯里和兰伯特这样的早期探究者对它的态度。我们的想像因为被我们的形象化模式和熟悉的欧几里得概念统治着，只是零碎地和逐渐地有能力把握罗巴切夫斯基的观点。在这里，我们必须容许我们自己与其受源于单一的狭窄空间的部分的感觉图像的引导，还不如受数学概念的引导。不过，我们必须承认，我们通过我们的首创精神在某一任意范围内藉以描述几何学经验的事实之定量的数学概念，并没有以绝对的精确性复写后者。不同的观念能够以相同的精确性在观察可以达到的领域内表达这些事实。因此必须把事实与理智的建构仔细区分，事实启示了理智建构物的形成。后者即概念必须与观察一致，此外必须在逻辑上相互一致。现在，这两个要求能够以一种以上的方式付诸实现，不同的几何学体系由此而来。
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