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第二十五节
显然，罗巴切夫斯基的工作是持久的和紧张的智力努力的成果，可以推测，在他能够综合地介绍它之前，他首先从一般的考虑并通过分析的（代数的）方法获得了他的体系的明晰概念。在这个麻烦的欧几里得形式中的说明决不是诱人的，它可能主要由于这一事实：罗巴切夫斯基和鲍耶的工作的意义如此之迟地才得到承认。
第二十六节
罗巴切夫斯基仅仅发展了欧几里得第五公设的修正结果。但是，如果我们抛弃欧几里得的“两条直线不能封闭空间”的断言，那么我们将得到罗巴切夫斯基几何学的伴随部分。局限于面，它将是球面几何学。我们有大圆代替欧几里得直线，所有大圆相交两次，其中每一对封闭两个球面二角形。因此，设有平行。黎曼第一个宣布了关于三维（正曲率）空间的类似的几何学的可能性，这个概念甚至到高斯好像还没有出现，可能由于他对无穷的偏爱。亥姆霍兹在物理学上继续黎曼的研究，轮到他时，他在他的第一个出版物中也忽略了罗巴切夫斯基的负曲率（具有虚参数k）空间的案例的发展。实际上，对这个案例的考虑对数学家来说比它对物理学家来说要更加明显。亥姆霍兹在所提及的出版物中仅仅处理了欧几里得的零曲率案例和黎曼的正曲率空间。
第二十七节
因此，我们能够以尽可能的精确性用欧几里得几何学以及罗巴切斯基和黎曼的几何学描述空间观察的事实，倘若在后两种情况下我们取参数k是足够大的话。物理学家迄今没有发现违反欧几里得几何学的假定k＝8的理由。坚定不移地固守最简单的假定，直到事实迫使它们复杂化或修正它们，正是他们的实践和长期的、可靠的经验的结果。这同样与所有伟大的数学家对于应用几何学的态度一致。物理学家和数学家对于这些问题的行为总的来说是不同的，但是这不能用环境来说明，即对于前一类探究者来说，物理事实具有最大的意义，几何学在他们看来只不过是方便的研究工具，而对后一类探究者来说，正是这些问题是探索的首要素材，具有最大技巧的、特别是认识论的兴趣。设想数学家尝试性地修正我们几何学经验的最简单的和最直接的假定，设想他的尝试富有新颖的洞察，那么从纯粹的数学兴趣来看，肯定没有什么东西比应该一步执行这些探索更自然的了。我们熟悉的几何学的类似物是针对任何数目的维度在较广阔和较一般的假定之上构造的，这些假定不要求被视为比理智的科学实验更多的东西，不具有应用于实在的观念。在支持我的评论时，提一下克利福德（Cliford）、克莱因、李（Lie）和其他人在数学中作出的进展是充分的。思想者很少变得如此沉浸在幻想之中，或者如此远离实在，以致就我们的空间想像超过给定的感觉空间的三维的若干维度，或者构想用可以看见背离欧几里得几何学的任何几何学描述那种空间。高斯、罗马切夫斯基、鲍耶和黎曼在这一点上是十分清楚的，肯定不能认为他们对随后在这个领域出现的荒诞不经的虚构负有责任。
第二十八节
针对几何学的建构物在无穷处和不可达到的地点的行为作假定，然后接着把它们与我们即时的经验加以比较，并使它们适应于它，这与物理学家的的原则不一致。像斯托尔茨这样的物理学家就偏爱注重作为他的观念源泉直接给予的东西，他认为在被迫改变它们之前，也可以把它们应用于达不到的东西。但是，他也可能极其感激存在几种适当的几何学发现，我们也能够对于有限空间运用它们，一句话，他感激废除某些因袭的思想障碍。
假如我们生活在具有混浊的、不透光的大气的行星表面上，我们在假定地球的表面是平面、我们唯一的工具是矩尺和链的基础上着手测量，那么大三角形角之和超过量的增加会立即迫使我们用测球面学代替我们的测平面学。作为一个原则问题，物理学家不能排斥在三维空间中的类似经验的可能性，尽管会迫使接受罗巴切夫斯基几何学和黎曼几何学的现象，应该呈现出与我们迄今已经习惯的现象如此奇特的对照，以致人们将不认为它们的实际发生是可能的。
第二十九节
给定的物理对象是直线还是圆弧，这个问题没有被恰当地阐明过。拉紧的绳索或光线肯定既不是一个，也不是另一个。问题仅仅在于，是否对象在空间中如此作用使得它更好地符合一个概念而不是另一个概念，是否它以对我们来说是充分的、我们可以达到的精密性完全符合任何几何学概念。把后一个案例排除在外，便出现了这样一个问题：我们是否能够实际上消除、或者至少在思想上决定和顾及与直线或圆的偏离呢，换句话说，我们是否能够矫正测量的结果呢？但是，在实际测量中，我们总是依赖物理对象的比较。如果按照直接的调研，这些对象在可以达到的最高的精确度上与几何学概念一致，但是间接的测量结果却比考虑所有可能的容许误差更多地偏离了理论，那么肯定应该责成我们改变我们的物理－度规概念。物理学家将有理由等待这样的境况的出现，而数学家将总是有他的思辩的自由天地。
第三十节
在自然探究者使用的所有概念中，最简单的概念是空间和时间概念。与他的概念建构物一致的空间和时间的对象，能够以极大的精密性构造。几乎每一个可观察的偏离都能够被消除。我们能够在不违反事实的情况下，设想任何空间的或时间的建构物的实在化。下余的物体的物理性质是如此密切地关联在一起，以致在这里任意的虚构都因事实而受到狭窄的限制。理想气体、理想流体，理想弹性体都不存在，物理学家知道，他的虚构仅仅近似地、通过任意简化地符合事实；他完全意识到无法消除的偏离。我们能够在不违反任何事实的情况下构想球、平面等等，并以不受限制的精密性构造它们。因此，如果任何物理事实碰巧使我们的概念的修正成为必要的，那么物理学家将于可牺牲较少完美的物理学概念，而不是放弃较简单的、较完美的和较持久的几何学概念，因为这些几何学概念形成了他的所有理论的牢固基础。
第三十一节
但是，从另一个方向来看，物理学家能够从几何学家的劳动中得到实质性的帮助。我们的几何学家总是涉及感觉经验的对象。然而，只要我们开始用像原子和分子——从它们的真正本性来看，它们从未能够成为感觉注视的对象——这样的思想事物操作，我们无论如何没有任何义务认为它们处在对我们感觉经验的欧几里得三维空间来说独有的空间关系中。这可以引起相信原子思辨是不可或缺的思想者的特别注意。
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