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第九节
在这里与空间类比的流形像颜色系统一样，也是三重的，或者它们描述了较小数目的变化。空间包含作为两重流形的面和作为一重流形的线，数学家在概括时也可能把作为零重流形的点添加其中。对于拉格朗日来说，在构想作为四维——时间被认为是第四个坐标——解析几何的分析力学时，也没有困难。事实上，解析几何的方程以其与坐标的一致，十分清楚地启发数学家把这些考虑推广到不受限制的较大数目的维度。相似地，在考虑推广的物质连续体（continu－urn）——温度、磁势、电势和引力势作为多重流形的部分或截面归因于连续体的每一点——时，物理学也会受到辩护。正如科学史向我们表明的，决不必把使用这样的符号表示看作是完全无结果的。起初似乎没有无论什么意义的符号，在服从可以称之为理智实验的东西之后，便逐渐获得清楚的和精确的含义。只要想一想代数中的负指数、分数指数和变量指数或者下述案例就可以了：在这些案例中，重要的和必不可少的观念的推广占据了在其它地方完全丧失了的、或使它们在以后许多时期出现的位置。只要想一想所谓的虚量就可以了，在它们处在分配给它们以完全确定的甚至可以想像的意义的地位之前，数学家早就用它们运算了，他们甚至从中得到了重要的结果。但是，符号表示同样也有不利之处：容易丧失对所描述的对象的洞察，用频频没有任何对象与之对应的符号继续操作。
第十节
很容易起来应付黎曼的n重连续流形的概念，甚至有可能使这样的流形的部分实在化和形象化。设a1，a2，a3，a4……a[n＋1]是无论什么要素（感觉的质、实物等）。如果我们构想这些要素以它们的可能的关系混合，那么每一单个的混合将用表达式
a1aG1＋a2a2＋a3a3＋……an＋1a[n＋1]＝1表示，在这里系数a满足方程
a1＋a2＋a3＋……＋a［n＋1］＝1。因为这些系数a可以随乐意而选择，所以n＋l个要素的混合的总体将描述n重连续流形。我们可以把下述形式的表达式看作是这个流形的点的坐标：
am/a1或f（am/a1），例如log（am/a1）但是，在选择距离或者类似于几何学概念的任何其他概念的定义时，我们将不得不十分任意地进行，除非上述流形的经验告诉我们，某些度现概念具有实在的意义，因此受到偏爱，关于具有针对距离元ds 2 ＝dx 2 ＋dy 2 ＋dz 2 从物体容量的恒定性导出的定义的几何学空间的案例是这样的，关于具有上面提及的对数表达式的音调感觉的案例同样也是如此。在大多数案例中，这样的人为的建构是这类正缺少的被包含、被固定的点，因此整体的考虑是理想的考虑。与空间的类比从而在完备性。多产性和激励功能方面受到损失。
第十一节
可是，在另一个方向，黎曼发挥了高斯的观念；他由后者关于曲面的研究开始。高斯的曲面在任何点的曲率的度量由表达式是k＝do/ds给出，在这里d是曲面的面元，do是单位球的表面面元，而单位球的极限半径平行于面元d的极限法线。曲率的这种度量也可以用形式k＝1／ ρ 1 ρ 2来表示，在这里 ρ 1 ρ 2是曲面在上述之点的主曲率半径。其曲率的度量对所有点而言有着相同值的曲面——恒定曲率的曲面——具有特殊的兴趣。在把曲面构想为无限薄的、不可膨胀的、但却是固体的物体时，人们将发现，可以使相同曲率的曲面通过弯曲重合——例如平面纸张围着柱面或锥面缠绕就是这样的，但却不能使它们与球的表面重合。在这样变形时，甚至以弄皱的方式变形时，在曲面上所画的图形的成比例的部分就长度和角度来说依然是不变的，倘若我们在我们的测量中不超出曲面的两维的话。相反地，曲面的曲率同样不依赖于它在空间第三维中的构形，而仅仅依赖于它的内部的比例。当时，黎曼构想了概括曲率度量的概念并把它应用于三维或多维空间的观念。与此一致，他设想具有恒定正曲率的有限无界的空间是可能的，它对应于无界但却有限的两维球面，而我们通常认为是无限空间的东西也许对应于曲率为零的无限平面，相似地，第三种空间也许对应于负曲率的曲面。正像在确定不变的曲率的曲面上所画的图形只能在这个曲面上无变形地位移（例如，球面图形只能在它的球面上位移，或平面图形只能在它的平面上位移）一样，类似的条件必然地对于空间图形和刚体也应该有效。正如亥姆霍兹详细表明的，后者能够在恒定曲率的空间中自由运动。恰如平面的最短的线是无限的，而在球面上作为具有确定的有限长度、闭合的和复归为它们自己的大圆出现一样，黎曼同样地构想，在类似物的三维正曲率空间中，直线和平面是有限而无界的。但是，在这里存在着困难。如果我们具有关于四维空间的曲率度量的概念，那么转移到三维空间的特例就能够很容易合理地实行；但是，从特殊的案例向比较一般的案例的过渡包含着某种任意性，这是很自然的，不同的探究者在这里采取不同的路线（黎曼和克罗内克）。对于一维空间（任何种类的曲线）来说，曲率的度量没有内部度量的含义，这样的度量首先出现在与两维图形的关联中，正是这个事实迫使我们询问：某种类似的东西对于三维图形是否有任何意义，在多大程度上有意义？我们用没有实在的事物与之对应、至少用没有什么事物与感觉对应的符号操作，我们错助符号能够证实和纠正我们的观念，我们在这里没有遭遇上述的幻想吗？
这样便达到了关于空间及其与类似的流形的关系之最高的和最普适的概念，这些概念出自高斯对于几何学的经验基础的确信。但是，这个确信的起源具有两千年的预备的历史，我们也许能够从我们现在达到的高度更充分地概览这一主要现象。
第十二节
以手为尺的质朴单纯的人在获知我们的头一批几何学知识后，便把握了最简单的具体对象或图形——直线、平面、圆等等，并且借助能够被构想为这些简单图形的组合的形式研究它们的测量的关联。他们不会不注意到，当物体的一点、接着两点被固定时，它的可动性便受到限制，最后由于固定了它的三个点，它完全停止不动了。假定绕轴（两点）的旋转、或绕平面上一点的旋转像两点与直线和第三点与固定平面恒定接触的位移一样，都通过那条直线，即假定这些事实是分开观察的，那么人们会知道如何在纯粹的转动、纯粹的位移和由这两种独立运动合成的运动之间区分。第一个几何学当然不是建立在纯粹度规概念的基础上，而是对生理的感觉因素作出了许多显著的让步。于是，外观用两种不同的基本度量来说明：（直线的）长度和角度（圆的度量）。直线被构想为刚性的可动的物体（量杆），角度被构想为一条直线相对于另一条直线的转动（用如此画出的弧测量）。无疑地，人们从来也没有要求特别证明用相同的转动在原点画出的角度相等。很容易引出关于角度的附带命题。使线段b绕它与c的交点如此转动，以致画出角 α （图 22），在与c重合后再使它绕它与a的交点转动，直到它与a重合为止，这样便画出用 β ，我们将在同一指向通过角 μ 把 b从它的初始位置转到它的最终位置。因此，外角 μ ＝ α ＋ β ，因为 μ ＋ γ ＝ 2R，所以 α ＋ β ＋ γ ＝ 2R。把在它们的平面内在位置1处相交的刚性的线系统a，b，c移动到位置2（图23），线段a总是仍旧在它自身之内，纯粹的运动将不会引起角度的变化。如此产生的三角形1，2，3的内角之和显然是2R。相同的考虑也免除了平行线的性质。
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