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第五十节
感觉想像「即Anschauung或正如我们称之为的直觉］和概念的结合作用的意义通过这些例子将无疑变得很清楚。康德说：“没有内容的思想是空洞的，没有概念的直觉是盲目的。”（KdrV A51／B75）也许我们可以更恰当地说：“没有直觉的概念是盲目的，没有概念的直觉是跛瘸的。”因为称直觉［即感觉图像］是盲目的和概念是空洞的似乎并非如此绝对正确。当康德进而说“在每一自然知识的部门中，仅仅存在与在其中包含的数学一样多的科学”（《自然科学的形而上学基础》，导言）时，人们大概也可以就包含数学在内的所有科学断言：“它们仅仅是达到它们用概念操作的程度的科学。”因为我们的逻辑控制只扩展到我们自己已决定其内容的那些概念。
第五十一节
物体是刚性的和可动的这两个事实，对于理解任何几何学事实都会是充分的，不管几何学事实多么复杂都会是充分的，也就是说，从提到的两个事实可以导出它。但是，几何学在它自己的兴趣和它作为辅助科学的作用两方面，或者在对实际目的追求中，都被迫回答以同一方式反复再出现的问题。现在，在这样的偶然事件中，每次都从最基本的事实开始，并推进到显示出来的每一个新案例的根底，也许是不经济的。因此，选择某几个简单的，熟悉的和明确的定理——在我们的这种选择中决不排除任性，并从这些定理中一劳永逸地为实际目的的应用系统形成回答最频繁重现的问题的普遍命题，则是更为可取的。从这种观点来看，我们立即理解了几何学假定的形式——例如，它把重点放在它的关于三角形的命题上。就所预定的意图而言，选择具有最广泛应用范围的，最普遍的可能命题是称心如意的。我们从历史了解，通过把各种知识的特例综合在单一的普遍案例之下，才能得到这种特征的命题。今天，当我们处理两个几何学图形的关系时，或者当形式和位置的不同特例迫使我们修正我们的演绎模式时，我们甚至不得不对这个程序再分类。作为在初等几何学中的这方面的最熟悉的例子，我们可以引用在圆心角和圆周角之间得到的关系的演绎模式。
克罗曼（Kroman）提出这样一个问题：我们为什么认为用特殊图形（特殊的三角形）构成的证明对于所有图形是普遍可靠的？他发现他的答案在于假定，我们能够通过急剧的变化，在思想中把所有可能的形式传递给图形，从而使我们自己相信同一推理模式在所有特例中的可采纳性。历史和内省都宣布，这个观念在所有基本的方面是正确的。但是，我们不可以和克罗曼一起假定，在每一个特例中，每个个别的几何学学生都“以闪电般的迅疾”获得这个完备的概要的观点，并即刻达到所讨论的几何学确信的透彻和强度。频繁需要的操作是绝对不可实行的，误差证明，在其他案例中，它实际上不可实行，依然满足于猜想的探究者立足于类比。除了个人马上达不到或不能达到之外，他可以在他的一生的过程中达到。整整多代人辛苦地确认几何学。对它的确实性的确信无疑被他们的集体努力增强了。我曾经了解，一位在其他方面出色的教师强迫他的学生用不正确的图形完成他们的所有证明，但是在理论上，正是概念的逻辑关联而不是图形，才是本质的东西。但是，嵌入在概念中的经验依附我们的感觉图像。只有实际上形象化的或想像的图形才能够告诉我们，在给定的案例中必须使用什么特定的概念。这位教师的方法令人钦佩地适应于使逻辑操作在达到真理中分担的程度变得容易感觉到。但是，习以为常地使用它就是完全没有领会这样一个真理：概念从感觉的源泉获取它们的基本功能。
如果准确地观察事实，那么还不能坚持用幸运的三段论排列就能够一劳永逸地捕获新洞察的观点：该观点既对单个的初学者或探究者不成立，也对作为一个整体的人或人类不成立，既对几何学不适用，也对其他科学不适用。相反地，科学史表明，正确地还原为它的基础的正确的新洞察迟早在某种程度上可能变混乱，不完备地或以被曲解的形式出现，甚或完全不再为某些探究者所知，只是在以后才以充分的光辉重新显现。洞察的一次发现和表达是不够的。把一般的思维习惯发展到上述的洞察能够变成共同的特性并持久地充满活力的地步，往往需要花费若干年和数世纪。迪昂在他的关于静力学的历史的详尽调研中特别优美地表明了这一点。
《认识与谬误》
恩斯特.马赫著 洪佩郁译
第二十二章 从物理探究的观点着空间和几何学
第一节
我们的空间概念根植于我们的生理构成。几何学的概念是物理空间的经验的理想化的产物。几何学体系最终源于如此收集的概念资料的逻辑分类。所有三种因素都在清楚明白的近代几何学中留下它们的痕迹。因此，关于空间和几何学的认识论探究涉及到生理学家、心理学家、物理学家、数学家、哲学家，同样也涉及到逻辑学家，他们只有考虑这里提供的广泛歧异的观点，才能够被带到它们的肯定的解答。
早在青少年时代醒悟到强烈的意识时，我们便发觉我们自己具有包围和环绕我们身体的空间概念，各种各样的物体在这样的空间中运动，部分改变和部分保持它们的大小和形状。我们不可能断定是如何产生这一概念的。只有在意图和方法上计划好的对经验的彻底分析，才能使我们猜想，身体的天生的特质与具有纯粹物理特征的简单的和粗糙的经验之配合可以达到这个目的。
被看见或被接触的对象，不仅用感觉的质（如“红”、“粗糙”、“冷”等）区分，而且也用处所的质（如“向左”、“上”、“前”等）区分。感觉的质可能依然是相同的，而处所的质却连续地变化；即相同的感觉的对象可以在空间中运动。由于物理－生理的环境一而再地引起这类现象，人们发现，不管偶然的感觉的质可能如何变化，处所的质的相同秩序不变地发生，以致后者必然作为感觉的质所进入的和被分类的、固定的和持久的系统或登记薄而出现。现在，虽然这些感觉和处所的质只能够在相互联合中被激励，只能相伴地使它们呈现，但是无论如何容易产生这样的印象：处所的质的比较熟悉的系统先于感觉的质被给予（康德）。
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