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第三十六节
当我们开始在几何学上刻画或决定被形象地给予的角时，各种不同的方法供我们支配。当距离在两个固定点之间被指定，而使每一点在交点之外置于角的分离的边之上时，角就被决定了。为了使定义变得一贯，可以选择位于距顶点相同的和不变的距离的点。于是，相互并排地处于与它们的顶点重合的同一平面的给定角之等倍数，不能用这些点之间的距离的相同等倍数来量度，这种不方便的理由在于，这种决定角的方法未被引入初等几何学。当使角截取的圆周或圆面积的除得尽的部分与它在中心的顶点都处在圆的平面上时，通过选取该部分便得到更简单的度量、更简单的角的特征。在这里所包含的约定是比较方便的。
在利用圆的弧决定角时，我们再次仅仅度量容量，即由具有简单的确定的形式的物体占据的容积，而该物体是在距顶点等距离的角的臂上的两点之间被引入的。但是，单纯的直线距离能够刻画圆的特征。两种量度，即直线的长度量度和角度的量度，原则上是作为基本的量度使用的，其他量度都由它们推导而来，这是一个明白、直接的问题以及由此导致的简易和方便的问题。这决不是必要的。例如（图19），在没有特定的角的量度的情况下，可以用下述途径决定直线与另一条直线成直角地相交：使它的距第一条直线上的两点等距离的所有点处在距交点相等的距离。能够以完全相似的方式决定角的平分线，通过连续的平分能够得到我们希望的无论多么小的角的单位。与另一条直线平行的直线能够作为一个来定义，通过全等的曲线或直线路线能够把另一条直线的所有点转化为第一条直线的点。完全可能仅仅从直线段开始作为我们的基本量度。设给定一个固定的物理点a。另一点m距第一个点的距离是r。于是，这最后的点还能够处在围绕a以半径r。描绘的球面的任何部分。如果我们还知道再一个点b，并把m移动距b的距离为rb，那么三角形abm将是刚性的、被决定了的；但是，m还能够在通过三角形绕轴ab转动所描绘的圆上旋转。如果现在把点m牢牢控制在任何位置上，那么上述三点a，b，m所属的整个刚体也将被固定。
第三十七节
因此，距空间中至少三个固定点a，b，c的距离ra，rb，rc在空间上决定了点m。但是，这一决定还不是唯一的，因为具有棱ra，rb，rc的棱锥——m处在这个棱锥的顶点上——也同样能够在平面a，b，c的一侧构造，就像在该平面的另一侧构造那样。如果我们必须固定该侧，比如说用特殊的记号，那么我们应该诉诸生理的决定，因为在几何学上平面的两侧并非不同。倘若点m被唯一地决定，它距位于平面abc之外的第四点的距离rd必然附带地被给定。另外的点m’以相似的完成方式被四个距离r’a，r’b，r’c，r’d决定。因此，m距m’的距离也由这一决定给出。像各自被四个距离决定一样，同样的结论对于任何数目的其他点都为真，在四点之间，4（4-1）/1.2＝6的距离是可以料到的，要决定点的复合的形式，正好必须给出这个数。对于4＋Z＝n 点，6＋4z或4n－10的距离需要决定，尽管更大的数即n（－1）/1.2的距离存在着，以致距离的超过量也被同时决定。
第三十八节
如果我们从三点开始，并规定要进一步决定的所有点的距离将仅仅对于由三点决定的平面的一侧有效，那么3n－6的距离将足以决定n个点的系统相对于三个初始点的形式、大小和位置。但是，如果不存在关于所选取的平面之侧的条件，即包含感觉的和生理的特征但不包含抽象的度规特征的条件，那么点系统而不是预期的形式和位置，可能呈现对于第一个的点对称或者由二者的点组合。由于我们对称的生理组织，对称的几何图像很容易被认为是相同的，尽管它们从度规和物理的角度来看是迥然不同的。向右旋绕的螺丝和向左旋绕的螺丝、两个在相反方向旋转的物体等等，在我们的眼睛看来似乎是十分相像的。但是，我们为此理由都不容许把它看作是在几何学上或物理学上等价的。注意到这一事实会防止许多悖论问题。仅仅想一想这样的问题给康德带来的麻烦吧！感觉的生理属性由相对于我们的身体、特殊构成的肉体系统决定；而度规属性一般地由物理物体的世界决定。后者只能由重合实验即测量来确定。
第三十九节
正如我们看到的，每一个几何学的测量归根结底都可以还原为容量的测量即物体的计数。长度的测量像面积的测量一样基于每一个细绳、细棒和恒定厚度的叶片的容量的比较。这与下述事实没有不符之处：面积的度量在算术上可从长度的测量推导出来，或者立体的度量可仅仅从长度的度量或从与面积的度量结合的那些度量中推导出来，这只不过证明了，容量的不同度量是相互依赖的。断定这种相互依赖的形式是几何学的基本目标，正如断定各种计数操作或心智的排序活动关联在一起的方式是算术的本分一样。
第四十节
极其可能的是，视觉的经验是几何学发展急剧的原因。但是，我们从目前光学技术的发达状态获得的对光线性质十分熟悉，不应该误导我们认为我们关于光线的经验知识是几何学的主要基础。在充满灰尘或烟雾的空气中的光线提供了极妙的直线形象化。但是，我们不能从光线推导出直线的度规性质，恰如我们不能从想像的直线推导出它们一样，为此目的，与物理对象有关的实验是绝对必要的。实际几何学家的拉长的绳索肯定比经纬仪的使用要古老。但是，一旦已知物理的直线，光线便提供了达到新观点的十分清楚和近便的手段。盲人几乎不会发明近代的综合的几何学。但是，处在几何学基础的最古老的和最有力的经验恰恰是盲人通过他的触觉可以接近的，就像能够看见东西的人可以接近它们一样。不管物体的可动性，二者都了解物体的空间的恒久性；二者都通过把握对象获得了容量的概念。原始几何学的创造者起初本能地、然后故意地和有意识地忽略那些对他人操作来说是非本质的、他暂时下关心的物理性质、以这种方式，通过逐渐的成长，理想化的几何学概念在经验的基础上出现了。
第四十一节
因此，我们的几何学知识来自各种源泉。我们在生理学上从直接的视觉和触觉接触中获得了许许多多和各种各样的空间形式。物理的（度规的）经验（包括在相同的环境下由不同的物体引起的空间感觉的比较）与这些形式联系在一起，这些经验本身也只不过是在感觉之间得到的其他关系的表达。这些形形色色的经验序列如此密切地相互交织，以致只能用彻底的细查和分析分离它们，有关几何学的广泛歧异的观点概源于此。在这里它基于纯粹的形象化（Anschauung），在那里立基于物理的经验，依据高估或忽略一个因素或另一个因素而定。但是，两种因素都进入到几何学的发展中，它们今天还在其中起作用；正如我们看到的，因为几何学决不是全部使用纯粹度规的概念。
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