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第十五节
即使希罗多德的众所周知的陈述也是不够格的，他在陈述中把几何学的起源归之于在埃及人中的土地测量；即使该叙述也完全丢失了欧德摩斯（Eudemus）关于早期几何史留下的东西和我们所知的从普罗克洛斯那里摘录的东西，在我们看来，也许不可能怀疑几何学的前科学时期存在过。第一个几何学知识是偶然地、在没有计划的情况下，在实践经验的路线上，在与最多变的使用的关联中得到的。它是在科学精神或对上述经验的相互关联的兴趣仅仅有点发展的同时获得的。甚至在我们的几何学开端的贫乏历史中，这也是明白的，不过在一般的原始文明的历史中更加如此，在那里众所周知，技术的几何学应用存在于如此之早的野蛮时代，以致绝对地排除科学努力的假定。
第十六节
所有原始部落都从事编织技艺，在这里像在他们的绘图、绘画和木刻中一样，出现了由最简单的几何学形式构成的更可取的装饰主题。因为这样的形式像我们的儿童绘图一样，符合他们想要模仿的对象的简化的、典型的、图式的概念，而用他们的原始工具和手工的灵巧最容易制作的也正是这些形式。由一系列类似形状的、相互颠倒的三角形或由一系列平行四边形构成的这样的装饰（图 11）， 清楚地暗示出这样的观念：当把三角形三个角的顶点放置在一起时，它们之和构成两个直角。在由相同形状的不同颜色的石料建造习惯的镶嵌图和铺路面时，这个事实也不可能逃脱亚述、埃及、希腊等地的陶工和石工。一点周围的平面场地能够被仅仅三个正多边形，即被六个等边三角形、四个方形和三个正六边形完全填满，这个毕达哥拉斯学派的定理暗示出同一来源。在早期希腊人证明关于任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通过画高线）为两个直角三角形，并相应于这样得到的部分完成矩形。同样的经验也发生在其他许多场合中。如果测量者绕多边形地块步行，那么他将在到达起点时发现，他转了由四个直角构成的一个完整的循环。相应地，在三角形的案例中，由于内角和外角由六个直角构成（图 12）． 在减去循环的三个外角a，b，c后，将依然有两直角作为内角之和。高斯的同代人蒂鲍（Thibaut）使用了定理的这一推导。如果制图员通过绕内角总是在相同的方向上转动他的直尺画三角形（图13）， 那么他将在抵达第一个边时再次发现，若他的直尺的棱在开始时向着三角形外部放置，则三角形此时将处在内部。在这个步骤中，直尺在相同的方向扫过三角形的内角，在这样扫过时完成了半个循环。泰勒评价说，折布或折纸可以导致相同的结果。 如果我们以图14所示的方式折一个三角形纸片，那么我们将得到在面积上等于半个三角形的双矩形，在这里将看到，在a处重合的三角形的角之和是两直角。虽然通过折纸可以得到一些十分令人惊讶的结果，但是几乎不能假定，这些过程在历史上对几何学来说是十分多产的。该材料具有非常有限的应用，使用它的工匠一点也未受刺激去进行精密观察。
第十七节
因此，平面三角形的角之和等于一个确定的量即两直角的知识，是通过经验达到的，这与杠杆定律及玻意耳和马略特（Mariotte）定律没有什么不同。的确，无论无助的眼睛，还是用最灵敏的仪器测量，都不能绝对地证明，平面三角形的角之和严格地等于两直角。但是，该案例恰恰与杠杆定律和玻意耳定律相同。因此，所有这些定理都是理想化的和图式化的经验；因为实际的测量将总是显示出与它们的轻微偏离。气体定律被进一步的实验证明仅仅是近似的，在不得不以极大的精确性描述事实时需要修正它，而杠杆定律和关于三角形的角之和的定理却像会导致我们预期的实验的不可避免的误差一样，依然精密地与事实一致；可以使建立在这两个作为初始假定的定律基础上的所有结果成为同一陈述。
第十八节
处在同一直线上以它们的底相互并排地铺设的相等而且相似的三角形，也必定导致十分重要的几何学知识的片断（图15）。如果把三角形沿直线移置在平面上（没有转动），那么它的所有点，包括它的边界线的点，将描绘相等的路线。因此，相同的边界线将在任何两个不同的位置提供在所有点彼此等距离的两个直线系统，该操作保证了由位移的线在两条直线的相应侧面形成的角相等。所以在位移的线的同一侧上的内角之和被决定是两直角，这样便达到了欧几里得的平行定理。我们可以添加说，扩大这类铺设的可能性无限制地、必然地把增加的明显性给予这个发现。直到今天，三角板沿直尺滑动依然是画平行线的最简单。最自然的方法。几乎没有必要评说，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地关联的，只不过描述了同一经验的不同方面。
第十九节
上面提及的石工必须无困难地做出正六边形能够由等边三角形构成的发现。这样直接产生了把圆分割为部分的最简单的例子，即用半径把圆分为六部分、把它分为三部分等等。每一个木工本能地、几乎在没有思考的情况下就知道，由于圆的完美的对称性，能够从圆柱形的树干以无限数目的不同方式切割出具有矩形对称横截面的朽木。桁木的棱都将处在圆柱的表面，截面的对角线通过中心。按照汉克尔和秦勒的的观点，正是以这种方式，可能做出了在半圆上内接的所有角都是直角的发现。
第二十节
拉长的线提供了直线的显著的形象化。直线是由它的心理学的简单性刻画出特征的。它的所有部分引起相同的方向感觉；每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值；每一个无论多么小的部分都类似于每一个无论多么大的其他部分。虽然它影响了许多作者的定义，但是几何学家用这种心理学的特征却无法完成定义。形象化的图像必定是被关于在几何学上合用的物质对象的物理经验丰富的。设把绳子一端扎在A，没把它的另一端通过环形物扎在B。如果我们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式。与组成曲线相比，较少数目的绳子的相似部分即等价的物体足以组成连结A和B的直线。断言直线借助纯粹的想像被认为是最短的线，这是错误的。就质而论，我们的的确确能够在想像中以完善的精确性和可靠性复制绳子经历的形式和长度的同时发生的变化。但是，这无非是关于物体的先验的经验——思想中的实验——的复活。对空间的纯粹被动的冥思从来也不会导致这样的结果。测量是包括物理反应、重合实验在内的经验。具有不同方向和长度的形象化的或想像的线不能即刻相互应用。必须用被认为是不可改变的物质对象实际地经验这样的程序的可能性。把直线作为两点之间最短距离的本能的知识赋予动物是错误的。如果刺激吸引动物的注意力，如果动物如此转动以使它的对称平面通过刺激的对象，那么直线是唯一地由该刺激决定的运动的路线。在洛布关于动物向性（tropisms）的调研中，明确地表明了这一点。
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