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第十五节
这样一来，算术实践有时导致乍看起来似乎是不可能的分析操作，或者导致在结果上没有意义的争端。然而，我们依据较仔细的审查发现，迄今可应用的算术概念经过稍微修正或扩展便消除了不可能性，结果容许完全清楚的诠释，尽管是在较广泛的应用领域。当数学家以这种方式被迫违背他们的意愿修正他们的概念，并获知这样的步骤的价值和优点时，听任自由的发明更迅速地满足需要，甚或走在需要的前头，就变得更为自然了，请目睹一下格拉斯曼、哈密顿（Hamilton）和其他人关于矢量运算发明的例子吧，在这里数概念是为了适应几何学、运动学、力学、物理学等等的需要。
第十六节
让我们也考虑一下把截然分明的概念形成不仅给予无限地增加和减少、而且也给予实无穷的近代尝试吧。伽利略在他的对话（1638）的第一天提及这样的悖论：整数的无限集合似乎比平方的集合更大，而后者的一个数都对应于前者的每一个数，以致集合必定是相等的。他得出结论说，相等、较大和较小的范畴并不适合于无穷。这个思考的痕迹可以追溯到古代，它导致
G．康托尔（Cantor）关于集合论的研究。伽利略的例子表明，人们如何可能达到如下的定义：如果一个集合中的每一个元素是另一个集合中的元素且是唯一的元素，那么这两个集合具有相同的势，反之亦然。两个这样的集合被称为等价的。若一个集合等价于它本身的部分，则它是无穷集合。康托尔的研究表明，即使在实际上无穷的领域，恰当地构造排序概念，也能使人们依旧坚持一种概观。
第十七节
关于数论的逻辑－数学的描述，我们可以提到L．库蒂拉特（Couturat）撰写的明晰而有趣的书。我们的观点符合心理学的和人类学的考虑，这些考虑在任何情况下都是对逻辑方面的必要补充。对主体发展的深入细致的历史研究，在这里可以具有与费利克斯·克菜因（felix Klein）的著名讲演相同的有益效果。
第十八节
在从一开始我们正在处理就我们的实际兴趣而言是分立的对像之处，数论的应用是相对单纯的。许多探究对象，诸如广延和持续时间、力的强度等等，都不是即时地来自直接可数的等价成员的群。不用说，存在许多方式把它们分割为等价的可数的成员，对于这些成员中的每一个本身来说也同样，如此等等，但是必须使分割的极限人为地变得可感知和可区分，直到我们希望在其中止步的分割程度，因此最后单位的大小是任意的和约定的。然而，一旦我们以这种方式作出连续统，碰巧包含在进行的研究中的它的一部分能够由计数部分、即由达到任何期望的准确度的测量来决定。人为构造的数字连续统是在任何准确性水平上追踪自然连续统的条件的手段。可是在某处或彼处，我们必须在一个极限上停止，因为感官即使在人为支持时也是不完善的。例如，我们不能以无限的准确性观察，测量尺度覆盖被测量的对象，或它们的末端重合。这一相同的不确定性同样侵染了指明测量被测量的对象和测量尺度之间关系的结果之数值。事实上，相同的缺陷也与算术实际应用于分立地可数的对象有联系，因为它们预设的完美的等价实际上从来也没有被满足。
第十九节
如果我们不得不把连续变化的物理条件或物理量化归为量度，那么我们首先必须选择比较的对象或测量单位，并拟定如何判断另一个对象等于标准。倘若在不变的条件下对象能够相互代替而不损失结果，我们便认为对象在某些方面是相等的。两个重物相等，只要把它们单独地和分离地放在同一天平的同一盘子中时，它们引起相同的编转；两个电流相等，只要在它们相继地通过同一不变的电流计时，它们确定指针相同的偏转；对于磁极、热的程度和量等等而言，情况也类同。如果把n个等于该单位的重物放在同一盘子，让n单位的电流通过同一电流计导线（或通过闭合的相邻导线）等等，那么，若该单位是完全可以相互交换的，则结果仅仅由数值的度量n决定。
第二十节
如果借助数值量度确定了一系列相似的物理案例的决定性的条件，那么我们往往能够借助简单的推导法则、以对于描述事实来说充分的准确性，来描述它们相互依赖的方式。诸如折射定律、波意耳气体定律、毕奥－萨伐尔（Savart）定律这样的例子，都说明了这一点。当这样的定律一旦已知，它们常常能够在直接测量是困难的或不可能的地方促进间接测量。例如，连续地改变光源的强度是困难的，但是依据距光源等距离的、成直角被照明的两个接近的等面积的相等照明亮度，用眼睛判断两个光源相等则是容易的。如果现在我们能够表明，一个光源成直角地照明的面积恰恰像另一个相等的照明面积一样亮，而后者准确地收集的等于第一个的4，9，16……倍而却处在2，3，4……倍的距离处，那么能够把任何照明状态的测量化归为确定在相等亮度处的距离的关系，甚至通过眼睛把该测量限定为判断相等的和不相等的照度。
第二十一节
当我们把来自相似部分的物理探究构成整体时，我们必须总是当心，这种配合是否符合实在的添加物。例如，鉴于较强的光能够毫无保留地由相似的、独立的（不连贯的）光构成整体，而且总强度是各部分强度之和，因此众所周知，在某些条件下，我们对于一个小光源的光不再能这样做。同样地，同一音调的几个音叉的声音强度一般地不是各个强度之和，除非仅仅在周相重合的案例中。其他这样的告诫在 W2的PP．39-57中提过了。
《认识与谬误》
恩斯特.马赫著 洪佩郁译
第二十章 与度规空间对照的生理空间
第一节
当我们的意识被充分唤醒时，我们发现生理空间即我们的感性直觉的空间是现成的，它与作为概念的度规空间大相径庭。几何学的概念大都是通过深思熟悉的经验获得的。欧几里得几何学的空间处处且在所有方向上具有相同的性质，它是无界的和无限的。如果我们把视觉空间——约翰内斯·米勒和赫林的“看见的空间”，它尤其对于观看的观察者来说是熟悉的——与此比较一下，我们发现它既不处处且在所有方向上均匀，也不是无限的，亦不是无界的。我在其他地方讨论的事实告诉我们，“上”和“下”、“近”和“远”对应于迥然不同的感觉。对于“右”和“左”来说情况也一样，虽然在这里作为生理对称的事实的结果。各向异性呈现在生理相似的现象中。当列车驶入时进入隧道的石块表现上增大，当列车驶离时五块表现上缩小，这十分显著地使我们想到这样的日常经验：与对应的永远不变的几何学对象不同，视觉空间的视觉对象在不缩小或增大的情况下不能被移动。甚至从处于静止的熟悉的对象来看，这也是清楚的。把一个开口大且深的圆筒形玻璃杯放在人的面部之上，或者把圆柱形的玻璃棒水平托住对着眉毛的弓形，它在这样一个不寻常的位置将显著地显现圆锥形，像喇叭一样地向着面部张开，或者在玻璃棒的案例中显得变粗了视觉空间类似于超几何空间而非欧几里得空间。它不仅是有界的，而且在这一点上是相当狭窄地有界。普拉蒂奥的实验表明，如果一个表面后退距眼睛超过三十米，那么投射到该表面的图像不进一步地显著缩小。任何必须依靠直接印象的朴素的人，包括古代的天文学家，都把天空大略看作是有限半径的球。事实上，托勒密已经了解、欧勒在近代讨论过的天穹的展平，告诉我们视觉空间在不同方向具有不相等的广延。O．措特（Zoth）开始给出这一事实的心理解释，他表明该现象取决于视域高度相对于头的角度。视觉空间的狭窄边界正是从全景绘画的可能得出的。最后，我们注意到，在开始时，视觉空间根本不是度规空间：它的位置、距离等等在质上而不是在量上可区分。我们称之为视觉度量的东西，只不过是在原初的物理经验和度量经验的基础上逐渐发展起来的。
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